Главная » Конкурс решения задач » октябрь 2005 года
октябрь 2005 года
01.10.2005, 106. Доказать, что для положительных чисел a, b, c и d справедливо неравенство
a4 + b4 + c4 + d4 + 2abcd >= a2b2 + a2c2 + a2d2 + b2d2 +c2d2.
Более общим является неравенство Ф. Шлейфера: для любых а1, а2, ..., an
(n-1) (a12 + a22 + ... + an2) + n (a12a22...an2)1/n >= (a1 + a2 + ... + an)2.
При n = 4, a1 = a2, a2 = b2, a3 = c2, a4 = d2 получим утверждение данной задачи.
107. Многочлен
p(x) = xn - xn-1 + a2 xn-2 - ... - (-1)n an
имеет n действительных корней x1, x2, ..., xn (с учетом кратностей) и
x1 + x2 + ... + xn = 1, 0<= хк <= 1.
Доказать, что
0 <= ak <= (Cnk) / nk, 2<=k<=n,
причем знак равенства имеет место лишь тогда, когда все корни многочлена р(х) равны 1/n. (Здесь Cnk обозначает число сочетаний из n элементов по k.)
108. В этой задаче нужно разработать ряд алгоритмов, которые могут быть положены в основу вычислительных компьютерных программ.
а) (В.В. Рождественский). С парой чисел (a,b) разрешается проделать следующее преобразование: к одному из этих чисел прибавить другое и превратить имеющуюся пару либо в пару (a+b, b), либо в пару (a, a+b). Написать алгоритм, вычисляющий наименьшее число таких преобразований, необходимых для превращения пары (1,1) в пару, содержащую число N, 1<=N<=2000.
б) (Е.Е. Тыртышников). Последовательность an задана своим первым членом a1=1/e и рекуррентным соотношением an = 1 – n an-1. Вычислить число аn для n <= 50 с точностью до четырех знаков после запятой.
в) (Ю.В. Нестеренко, А.М. Слинько). Последовательность xn называется периодической, если для некоторых натуральных чисел М и Т равенство хn = xn+T имеет место для любых n > M. Наименьшие числа М и Т с этим свойством называются длиной нерегулярной части и длиной периода, соответственно. Известно, что для некоторой ограниченной функции натурального аргумента f(x) для всех k >= 1 справедливо равенство xk+1 = f(xk) так, что последовательность xn периодическая. Указать алгоритм, который по заданной последовательности определяет М и Т, используя число сравнений, линейное по максимуму этих двух чисел.
109. Решить в целых числах систему уравнений x3 + y3 + z3 = x + y + z = 8,
110. На сфере с центром в начале координат отмечена совокупность из 64 точек, половина из которых окрашена в красный цвет, а половина в синий. Известно, что если повернуть сферу на 1800 вокруг любой из осей Ох, Оу, Oz, то в каждом случае отмеченная совокупность точек переходит в себя, причем ровно половина всех точек сохраняет свой цвет. Какая часть точек сохраняет цвет при всех таких поворотах?