сентябрь 2007 года

189. На плоскости дан четырехугольник А₁А₂А₃А₄. Положим А_к = А_к-4 при к>4. Для к = 0,1,2,… точка Р_к+1 получается из точки Р_к поворотом на прямой угол вокруг точки А_к. Оказалось, что Р₂₀₀₈ = Р₀. Доказать, что диагонали А₁А₃ и А₂А₄ четырехугольника перпендикулярны.

190. На параболе лежат четыре различные точки А, В, С и D. Доказать, что А, В, С, D лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда прямая, симметричная прямой АD относительно оси параболы, параллельна прямой ВС.

191. F–последовательностью называется такая последовательность натуральных чисел {f_n}, для которой f_n+2 = f_n + f_n+1 при любом натуральном n.

А) Можно ли все натуральные числа разбить на конечное число непересекающихся F-последовательностей?

Б) Можно ли все натуральные числа разбить на бесконечное число непересекающихся F-последовательностей?

192. За круглым столом сидели и совещались 2к делегатов. После перерыва в заседании эти же 2к делегатов расселись вокруг стола, но уже в другом порядке. Доказать, что найдется два делегата, между которыми как до, так и после перерыва сидело одинаковое количество делегатов.

193. Существует ли непрерывная функция f(x), удовлетворяющая следующему условию:

А) f(x) = x + f(f(f(x))) для любого действительного х?

Б) f(x) = x + f(f(x)) для любого действительного х?