январь 2009 года

253. Функция f: Z->Z такова, что

а) если m,n принадлежат Z, то

(f(m)-f(n))/(m-n) принадлежит Z;

б) существуют положительные числа А и В и натуральное число N такие, что

|f(n)|<A|n|^N, n>B, n натуральное.

Доказать, что f(n) , n принадлежит Z, - многочлен с рациональными коэффициентами.

254. Можно ли раскрасить плоскость в конечное число цветов (больше одного) так, чтобы у любого правильного треугольника его вершины были либо одного цвета, либо трех разных цветов?

255. Две окружности w и w’ пересекаются в точке М, прямые l и m являются их общими внешними касательными. Прямая l касается окружностей w и w’ в точках А и В соответственно, в прямая m в точках C и D соответственно. Точки C’ и D’ получены из точек C и D в результате симметрии относительно точки М. Доказать, что точки A,B,C’,D’ лежат на одной окружности.

256. Последовательность {a_n} положительных чисел не убывает и обладает следующим свойством:

a_mn = a_ma_n , если (m,n) =1.

Доказать, что существует такое действительное число f, что a_n = n^f для всех натуральных n.

257. Доказать, что каковы бы ни были целочисленные точки А, В и С на плоcкости, всегда существует целочисленная точка D такая, что отрезки AD, BD и CD не содержат внутри себя целочисленных точек.