ноябрь - декабрь 2003 года

26. (Из протокола Кишиневской гимназии за 1879г.; обнаружила Б.П. Коварская - см. «Математика в школе», 2(1998)). Три мужа - Андрей, Иван и Степан пошли со своими женами - Анной, Екатериной и Ольгой за покупками. Каждый платил за каждую вещь по стольку рублей, сколько он купил вещей. Андрей купил больше Анны на 23 вещи, Иван - больше Екатерины на 11 вещей, а Степан - меньше Ольги на 23 вещи. Определить, кто на ком женат, если каждый из мужей израсходовал 63-мя рублями больше своей жены.

27. (VII Соросовская олимпиада). Пусть µ - наибольший корень уравнения

х³ - 3х² + 1 = 0.

Найти первые 100 знаков после запятой у числа µ¹⁰⁰⁰.

28. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС вне его построены равносторонние треугольники ВСА₀, САВ₀ и АВС₀. Доказать, что отрезки АА₀, ВВ₀ и СС₀ равны и попарные углы между ними равны 60^o.

29. (И.И. Воронович, г. Минск). Найти все пары положительных чисел x и y, такие что при любом натуральном n выполняется равенство

[x [yn] ] = n - 1.

Здесь [x] - целая часть числа х.

30. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС вне его построены равносторонние треугольники ВСА₀, САВ₀ и АВС₀. Доказать, что отрезки АА₀, ВВ₀ и СС₀ равны и попарные углы между ними равны 60^o.