март 2007 года

174. Дан треугольник АВС. На его сторонах АВ и ВС как на гипотенузах «наружу» от треугольника АВС построены прямоугольные треугольники АРВ и ВQС такие, что угол РАВ равен углу ВСQ и равен а. Найти углы треугольника PQR, где R - середина AC.

Что произойдет, если треугольники будут построены "внутрь" по отношению к треугольнику АВС?

175. Найти все натуральные числа n, для каждого из которых существует многочлен f (x) степени n такой, что многочлен f (x² + x + 1) делится на многочлен f (x).

176. Паук ползает внутри квадрата, а муха по его сторонам. Отношение максимальной скорости паука к максимальной скорости мухи равно 3/4. Сможет ли паук поймать муху?

177. Доказать неравенство cos (x + y) + 2cos x + 2cos y + 3 >= 0.

178. Имеется взаимно-однозначное преобразование плоскости, переводящее любой прямоугольник снова в прямоугольник (прямоугольнику принадлежат также все его внутренние точки). Доказать, что при таком преобразовании плоскости квадраты также переходят в квадраты.