апрель 2007 года

179. Три правильных треугольника АВС, CDE и EFG (вершины перечислены против часовой стрелки) имеют попарно общие вершины С и Е и расположены так, что вектор AD равен вектору DG. Доказать, что треугольник BFD - правильный.

180. Комплексные числа z₁, z₂, ..., z_n по модулю не превосходят 1. Доказать, что в алгебраической сумме

z₁ +- z₂ +- z3 +- ... +- z_n

можно так расставить знаки "+" и "-", что будет выполнено неравенство

| z₁ +- z₂ +- z₃ +- ... +- z_n |² <= 2.

181. На сторонах AB, BC, CD, DA выпуклого четырехугольника ABCD вне его построены правильные треугольники ABP,BCQ, CDR, DAS. Точка К - середина BQ, L - середина AS, M - центр треугольника CDR. Найти:

а) угол между РМ и КL;

б) отношение PM: KL.

182. Найти число коэффициентов многочлена (1 + х)²⁰⁰⁶, не делящихся на 3.

183. Для любого натурального n строится бесконечная последовательность n, t(n), t(t(n)), …, где t(k) -число натуральных делителей числа k. Найти все такие n, для которых в соответствующей последовательности нет полных квадратов.